本书主要研究隐藏在3D几何世界背后的数学问题。3D数学是一门与计算几何相关的学科，计算几何则是研究怎样用数值方法解决几何问题的学科。3D数学和计算几何广泛应用在那些使用计算机来模拟3D世界的领域，如图形学、游戏、仿真、机器人技术、虚拟现实和动画等。 本书涵盖了理论知识和C++实现代码。理论部分解释3D中数学和几何之间的关系，列出的技巧与公式可以当做参考手册以方便查找。实现部分演示了怎样用代码来实现这些理论概念。编程示例语言使用的是C++，实际上，本书的理论知识能通过任何编程语言实现。

第1章 简介 1
1.1 什么是3D数学 1
1.2 为什么选择本书 1
1.3 阅读本书需要的基础知识 2
1.4 概览 3
第2章 笛卡尔坐标系统 4
2.1 1D数学 5
2.2 2D笛卡尔数学 7
2.2.1 笛卡尔坐标系的实例： 假想中的笛卡尔城 7
2.2.2 任意2D坐标系 8
2.2.3 在2D笛卡尔坐标系中 定位点 10
2.3 从2D到3D 11
2.3.1 第三个维度，第三个轴 11
2.3.2 在3D笛卡尔坐标系中 定位点 12
2.3.3 左手坐标系与右手坐标系 13
2.3.4 本书的重要约定 15
2.4 练习 16
第3章 多坐标系 17
3.1 为什么要使用多坐标系 17
3.2 一些有用的坐标系 18
3.2.1 世界坐标系 19
3.2.2 物体坐标系 19
3.2.3 摄像机坐标系 20
3.2.4 惯性坐标系 21
3.3 嵌套式坐标系 22
3.4 描述坐标系 23
3.5 坐标系转换 23
3.6 练习 25
第4章 向量 26
4.1 向量——数学定义 26
4.1.1 向量与标量 27
4.1.2 向量的维度 27
4.1.3 记法 27
4.2 向量——几何定义 28
4.2.1 向量的形式 28
4.2.2 位置与位移 29
4.2.3 向量的表达 29
4.2.4 将向量表示为位移序列 30
4.3 向量与点 31
4.3.1 相对位置 31
4.3.2 点和向量的关系 31
4.4 练习 32
第5章 向量运算 34
5.1 线性代数与几何 34
5.2 符号约定 35
5.3 零向量 35
5.4 负向量 36
5.4.1 运算法则 36
5.4.2 几何解释 37
5.5 向量大小(长度或模) 37
5.5.1 运算法则 38
5.5.2 几何解释 38
5.6 标量与向量的乘法 39
5.6.1 运算法则 39
5.6.2 几何解释 40
5.7 标准化向量 41
5.7.1 运算法则 41
5.7.2 几何解释 41
5.8 向量的加法和减法 42
5.8.1 运算法则 42
5.8.2 几何解释 43
5.8.3 一个点到另一个点的向量 45
5.9 距离公式 46
5.10 向量点乘 47
5.10.1 运算法则 47
5.10.2 几何解释 48
5.10.3 向量投影 49
5.11 向量叉乘 50
5.11.1 运算法则 50
5.11.2 几何解释 51
5.12 线性代数公式 53
5.13 练习 54
第6章 3D向量类 57
6.1 类接口 57
6.2 Vector3类 58
6.3 设计决策 60
6.3.1 float与double 61
6.3.2 运算符重载 61
6.3.3 仅提供最重要的操作 61
6.3.4 不要重载过多的运算符 62
6.3.5 使用const成员函数 62
6.3.6 使用const引用参数 62
6.3.7 成员函数与非成员函数 63
6.3.8 无缺省初始化 64
6.3.9 不要使用虚函数 64
6.3.10 不要使用信息屏蔽 64
6.3.11 全局常量：零 65
6.3.12 不存在“Point3”类 65
6.3.13 关于优化 65
第7章 矩阵 69
7.1 矩阵——数学定义 69
7.1.1 矩阵的维度和记法 69
7.1.2 方阵 70
7.1.3 向量作为矩阵使用 71
7.1.4 转置 71
7.1.5 标量和矩阵的乘法 72
7.1.6 矩阵乘法 72
7.1.7 向量与矩阵的乘法 75
7.1.8 行向量与列向量 76
7.2 矩阵——几何解释 77
7.2.1 矩阵是怎样变换向量的 77
7.2.2 矩阵的形式 79
7.2.3 总结 82
7.3 练习 83
第8章 矩阵和线性变换 85
8.1 变换物体与变换坐标系 85
8.2 旋转 88
8.2.1 2D中的旋转 88
8.2.2 3D中绕坐标轴的旋转 89
8.2.3 3D中绕任意轴的旋转 91
8.3 缩放 94
8.3.1 沿坐标轴的缩放 94
8.3.2 沿任意方向缩放 96
8.4 正交投影 99
8.4.1 向坐标轴或平面上投影 99
8.4.2 向任意直线或平面投影 100
8.5 镜像 101
8.6 切变 102
8.7 变换的组合 103
8.8 变换分类 104
8.8.1 线性变换 105
8.8.2 仿射变换 105
8.8.3 可逆变换 106
8.8.4 等角变换 106
8.8.5 正交变换 106
8.8.6 刚体变换 106
8.8.7 变换类型小结 107
8.9 练习 107
第9章 矩阵的更多知识 109
9.1 矩阵的行列式 109
9.1.1 线性运算法则 109
9.1.2 几何解释 113
9.2 矩阵的逆 114
9.2.1 运算法则 114
9.2.2 几何解释 115
9.3 正交矩阵 116
9.3.1 运算法则 116
9.3.2 几何解释 116
9.3.3 矩阵正交化 118
9.4 4×4齐次矩阵 119
9.4.1 4D齐次空间 119
9.4.2 4×4平移矩阵 120
9.4.3 一般仿射变换 123
9.4.4 透视投影 124
9.4.5 小孔成像 125
9.4.6 使用4×4矩阵进行 透视投影 127
9.5 练习 128
第10章 3D中的方位与角位移 130
10.1 什么是方位？ 130
10.2 矩阵形式 132
10.2.1 用哪个矩阵 132
10.2.2 矩阵形式的优点 133
10.2.3 矩阵形式的缺点 133
10.2.4 小结 134
10.3 欧拉角 135
10.3.1 什么是欧拉角 135
10.3.2 关于欧拉角的其他约定 137
10.3.3 欧拉角的优点 137
10.3.4 欧拉角的缺点 138
10.3.5 总结 140
10.4 四元数 141
10.4.1 四元数记法 141
10.4.2 四元数与复数 142
10.4.3 四元数和轴—角对 144
10.4.4 负四元数 144
10.4.5 单位四元数 145
10.4.6 四元数的模 145
10.4.7 四元数共轭和逆 146
10.4.8 四元数乘法(叉乘) 146
10.4.9 四元数“差” 150
10.4.10 四元数点乘 151
10.4.11 四元数的对数、指数和 标量乘运算 151
10.4.12 四元数求幂 152
10.4.13 四元数插值——“slerp” 154
10.4.14 四元数样条—— “squad” 157
10.4.15 四元数的优点和缺点 158
10.5 各方法比较 159
10.6 表达形式之间的转换 160
10.6.1 从欧拉角转换到矩阵 160
10.6.2 从矩阵转换到欧拉角 162
10.6.3 从四元数转换到矩阵 165
10.6.4 从矩阵转换到四元数 167
10.6.5 从欧拉角转换到四元数 170
10.6.6 从四元数转换到欧拉角 171
10.7 练习 173
第11章 C++实现 175
11.1 概述 175
11.2 EulerAngles类 178
11.3 Quaternion类 186
11.4 RotationMatrix类 198
11.5 Matrix4×3类 204
第12章 几何图元 225
12.1 表示方法 225
12.1.1 隐式表示 225
12.1.2 参数形式表示 226
12.1.3 “直接”形式表示 226
12.1.4 自由度 227
12.2 直线和射线 227
12.2.1 两点表示法 228
12.2.2 射线的参数形式 228
12.2.3 特殊的2D直线表示方法 229
12.2.4 在不同表示方法间转换 230
12.3 球和圆 232
12.4 矩形边界框 233
12.4.1 AABB的表达方法 234
12.4.2 计算AABB 235
12.4.3 AABB与边界球 236
12.4.4 变换AABB 236
12.5 平面 238
12.5.1 平面方程——隐式定义 238
12.5.2 用三个点定义 239
12.5.3 多于三个点的 “最佳”平面 240
12.5.4 点到平面的距离 242
12.6 三角形 242
12.6.1 基本性质 242
12.6.2 面积 244
12.6.3 重心坐标空间 246
12.6.4 特殊点 252
12.7 多边形 255
12.7.1 简单多边形与复杂 多边形 255
12.7.2 自相交多边形 256
12.7.3 凸多边形与凹多边形 256
12.7.4 三角分解和扇形分解 260
12.8 练习 261
第13章 几何检测 262
13.1 2D隐式直线上的最近点 262
13.2 参数射线上的最近点 263
13.3 平面上的最近点 264
13.4 圆或球上的最近点 264
13.5 AABB上的最近点 265
13.6 相交性检测 266
13.7 在2D中两条隐式直线的 相交性检测 266
13.8 在3D中两条射线的相交性检测 267
13.9 射线和平面的相交性检测 269
13.10 AABB和平面的相交性检测 270
13.11 三个平面间的相交性检测 270
13.12 射线和圆/球的相交性检测 271
13.13 两个圆/球的相交性检测 273
13.14 球和AABB的相交性检测 275
13.15 球和平面的相交性检测 276
13.16 射线和三角形的相交性检测 277
13.17 射线和AABB的相交性检测 281
13.18 两个AABB的相交性检测 281
13.19 其他种类的检测 283
13.20 AABB3类 283
13.21 练习 298
第14章 三角网格 300
14.1 表示网格 301
14.1.1 索引三角网格 301
14.1.2 高级技术 302
14.1.3 针对渲染的特殊表达 302
14.1.4 顶点缓存 303
14.1.5 三角带 303
14.1.6 三角扇 306
14.2 额外信息 307
14.2.1 纹理映射坐标 307
14.2.2 表面法向量 307
14.2.3 光照值 308
14.3 拓扑与一致性 309
14.4 三角网格操作 309
14.4.1 逐片操作 309
14.4.2 焊接顶点 310
14.4.3 面拆分 312
14.4.4 边缩坍 312
14.4.5 网格消减 313
14.5 C++三角网格类 313
第15章 图形数学 319
15.1 图形管道概述 320
15.2 设定视图参数 322
15.2.1 指定输出窗口 322
15.2.2 像素纵横比 323
15.2.3 视锥 324
15.2.4 视场与缩放 324
15.3 坐标空间 326
15.3.1 模型与世界空间 326
15.3.2 摄像机空间 326
15.3.3 裁剪空间 327
15.3.4 屏幕空间 329
15.4 光照与雾化 330
15.4.1 色彩的数学 330
15.4.2 光源 331
15.4.3 标准光照方程——概述 333
15.4.4 镜面反射分量 333
15.4.5 漫反射分量 336
15.4.6 环境光分量 337
15.4.7 光的衰减 338
15.4.8 光照方程——合成 338
15.4.9 雾化 339
15.4.10 flat着色与Gourand 着色 341
15.5 缓存 342
15.6 纹理映射 343
15.7 几何体的生成与提交 344
15.7.1 LOD选择与渐进式生成 344
15.7.2 向API投送几何体 345
15.8 变换和光照 347
15.8.1 变换到裁剪空间 347
15.8.2 顶点光照 348
15.9 背面剔除与裁剪 349
15.9.1 背面剔除 349
15.9.2 裁剪 350
15.10 光栅化 352
第16章 可见性检测 353
16.1 包围体检测 354
16.1.1 基于视锥的检测 354
16.1.2 遮断检测 357
16.2 空间分割技术 357
16.3 网格系统 358
16.4 四叉树和八叉树 360
16.5 BSP树 364
16.5.1 经典BSP 366
16.5.2 任意分割面 366
16.6 遮断剔除 367
16.6.1 潜在可见集 367
16.6.2 Portal技术 368
第17章 后记 372
附录A 简单的数学概念 373
A.1 求和记法 373
A.2 角度，度和弧度 373
A.3 三角函数 374
A.4 三角公式 377
附录B 参考文献 379