内容简介

本书是在高等教育大众化和办学层次多样化的新形势下，结合工科学生工程数学教学的基本要求，在独立学院多年教学经验的基础上编写而成的.

全书系统地介绍了工程数学的基本理论，内容包括：线性代数、概率论、数理统计等. 本书保持了对数学基础课程的较高要求，同时力争适应工科学生的应用性特点，在内容和结构的处理上尽量削枝强干、分散难点，力求结构完整、逻辑清晰、通俗易懂，并附有大量的例题和习题.

 

本书适合高等院校工科各专业本科学生使用，也可供教师、工程技术人员参考.

 

前    言

　　工程数学是继高等数学之后大学数学课程中又一门重要的基础课，一般包括线性代数和概率统计两大部分. 线性代数中的矩阵、线性方程组在工程技术领域有着广泛的应用，概率论与数理统计则是解决和处理工程领域大量随机现象问题的有力工具. 实践证明，学生在学习这两部分内容并把它们应用于实际时，常常感到困惑，无所适从. 线性代数中，基本概念和重要结论多而抽象；概率统计不仅思维缜密，而且有异于确定性数学中所习惯的形式逻辑的思维方式. 因此，把握教学改革的发展趋势，探索教学体系和教学内容的变迁轨迹，编写一本能适应办学层次多样化形势需要的工程数学教材是非常有必要的.

　　工程数学作为高等院校理工科一门重要的基础理论课，对提高学生的素质，优化知识结构，培养学生的逻辑思维能力、抽象思维能力、分析问题和解决工程问题的能力，提高创新意识，并为后续课程的学习打下坚实的数学基础起着重要的作用.

　　我们结合在独立学院多年的教学实践，编写了本教材. 全书共13章，主要介绍线性代数、概率论和数理统计等基础知识. 本书内容紧扣教学大纲，力求结构严谨、逻辑清晰、通俗易懂，适合高等院校工科各专业学生和教师使用.

　　本书由吕陇担任主编，并负责全书的统稿工作。具体编写分工如下：第1～2章由李建生编写，第3～4章由郭中凯编写，第5～6章由姚小娟编写，第7章由任秋艳编写，第8～13章由吕陇、杨宏编写，附录材料与图表由李建生绘制.

　　本书在编写过程中得到了兰州理工大学技术工程学院的大力支持与帮助，在此表示衷心的感谢.

　　由于编者水平所限，书中尚有不妥及错误之处，恳请同行和读者批评指正.

　　

　　

　　                                          编  者  

 

　目    录

第1章  行列式 1

1.1  行列式的定义 1

1.1.1  全排列与逆序数 1

1.1.2  二阶行列式、三阶行列式 1

1.1.3  n阶行列式的定义 3

1.2  行列式的性质 5

1.3  行列式按行(列)展开 8

1.3.1  行列式元素的余子式和代数余

子式 8

1.3.2  行列式按某一行(列)展开

定理 9

1.3.3  异乘变零定理 11

1.4  克莱姆法则 11

习题1 12

第2章  矩阵 14

2.1  矩阵的概念 14

2.1.1  矩阵的定义 14

2.1.2  几种特殊矩阵 15

2.2  矩阵的运算 16

2.2.1  矩阵的加法 16

2.2.2  矩阵的数乘 17

2.2.3  矩阵的乘法 18

2.2.4  线性方程组的矩阵表示 19

2.2.5  矩阵的转置 20

2.2.6  方阵的行列式 21

2.2.7  方阵的幂 22

2.3  逆矩阵 23

2.3.1  逆矩阵的概念 23

2.3.2  矩阵可逆的判定 23

2.3.3  逆矩阵的性质 26

2.3.4  矩阵方程 26

2.4  矩阵分块 27

2.4.1  分块矩阵的概念 27

2.4.2  分块矩阵的运算 28

2.4.3  分块对角矩阵 30

2.5  矩阵的初等变换 32

2.5.1  线性方程组的消元解法 32

2.5.2  矩阵的初等变换 34

2.5.3  初等矩阵 35

2.5.4  利用初等变换求逆矩阵 38

2.6  矩阵的秩 40

第3章  向量组的线性相关性 45

3.1  向量组及其线性组合 45

3.1.1  维向量及其线性运算 45

3.1.2  向量组的概念 46

3.1.3  向量组的线性组合 47

3.2  向量组的线性相关性 49

3.2.1  线性相关与线性无关的概念 49

3.2.2  线性相关与线性无关的判定

方法 49

3.3  向量组的秩 52

3.3.1  最大线性无关组及向量组

的秩. 52

3.3.2  矩阵的秩与向量组秩的关系 53

3.4  向量空间 55

3.4.1  向量空间 55

3.4.2  基、维数与坐标 56

3.4.3  基与基之间的过渡矩阵及坐标

变换 57

习题2 58

第4章  线性方程组的解 61

4.1  线性方程组的解的条件 61

4.1.1  线性方程组解的情况 63

4.1.2  线性方程组解的存在性 67

4.1.3  线性方程组解的个数 68

习题3 72

4.2  线性方程组解的结构 75

4.2.1  齐次线性方程组解的结构 76

4.2.2  齐次线性方程组的基础解系 76

4.2.3  非齐次线性方程组的解的

结构 79

习题4 82

第5章  相似矩阵及二次型 84

5.1  向量的内积、长度及正交性 84

5.2  方阵的特征值与特征向量 88

5.3  矩阵的相似与对角化 90

5.4  二次型 94

5.4.1  二次型的概念与表示 94

5.4.2  化二次型为标准形 98

5.4.3  二次型的分类与判定 99

习题5 101

第6章  概率论的基本概念 104

6.1  随机事件的关系与运算 104

6.1.1  随机试验 104

6.1.2  随机事件 105

6.1.3  样本空间 105

6.1.4  事件之间的关系 106

6.1.5  事件之间的运算 107

6.2  随机事件的概率 108

6.2.1  概率的统计学定义 108

6.2.2  概率的古典定义 110

6.2.3  概率的几何定义 111

6.2.4  概率的基本性质 112

6.3  条件概率 112

6.3.1  条件概率的定义 112

6.3.2  概率的乘法定理 113

6.3.3  全概率公式 114

6.3.4  贝叶斯公式 115

6.4  随机事件的独立性 116

习题6 118

第7章  随机变量及其分布 121

7.1  随机变量及其分布函数 121

7.1.1  随机变量的概念 121

7.1.2  随机变量的分布函数 122

7.2  离散型随机变量 124

7.2.1  离散型随机变量及其概率

分布 124

7.2.2  离散型随机变量的分布

函数 124

7.2.3  几种重要的离散型随机变量的

概率分布 126

7.3  连续型随机变量 127

7.3.1  连续型随机变量的分布

函数 128

7.3.2  连续型随机变量的概率

密度 128

7.3.3  常用的连续型随机变量的概率

分布 130

7.4  随机变量函数的分布 135

7.4.1  离散型随机变量的函数的

分布 135

7.4.2  连续型随机变量的函数的

分布 136

7.5  多维随机变量及其分布 139

7.5.1  二维随机变量 139

7.5.2  二维随机变量的分布函数 140

7.5.3  二维离散型随机变量的联合

概率分布 141

7.5.4  二维连续型随机变量的联合

概率密度 142

7.6  边缘分布与随机变量的独立性 144

7.6.1  边缘分布 144

7.6.2  随机变量的独立性 145

7.7  二维随机变量函数的分布 147

7.7.1  和的分布 148

7.7.2  最大值与最小值的分布 151

习题7 153

第8章  随机变量的数字特征 156

8.1  数学期望 156

8.1.1  离散型随机变量的数学

期望 156

8.1.2  连续型随机变量的数学

期望 157

8.1.3  二维随机变量的数学期望 159

8.1.4  随机变量函数的数学期望 160

8.1.5  数学期望的性质 161

8.2  方差 163

8.2.1  方差的概念 163

8.2.2  方差的性质 165

8.3  矩、协方差与相关系数 166

8.3.1  矩 167

8.3.2  协方差与相关系数 167

8.3.3  协方差和相关系数的性质 168

习题8 169

第9章  大数定律和中心极限定理 172

9.1  大数定律 172

9.1.1  切比雪夫不等式 172

9.1.2  切比雪夫大数定律 173

9.1.3  伯努利大数定律 174

9.2  中心极限定理 174

习题9 176

第10章  数理统计的基本概念 178

10.1  数理统计的基本概念及常用分布 178

10.1.1  总体 178

10.1.2  样本 179

10.1.3  统计量 180

10.1.4  常用分布 181

10.1.5  分位点 183

10.2  正态总体统计量的分布 185

10.2.1  单个正态总体的统计量的

分布 185

10.2.2  两个正态总体的统计量的

分布 189

习题10 192

第11章  参数估计 194

11.1  点估计 194

11.1.1  矩估计法 195

11.1.2  极大似然估计 196

11.1.3  估计量的评选标准 200

11.2  正态总体参数的区间估计 201

11.2.1  区间估计的概念 201

11.2.2  单个正态总体参数的区间

估计 202

11.2.3  两个正态总体参数的区间

估计 205

11.2.4  单侧置信限 207

习题11 208

第12章  假设检验 211

12.1  假设检验的基本概念 211

12.2  正态总体参数的假设检验 213

12.2.1  单个正态总体均值的假设

检验 213

12.2.2  单个正态总体方差的假设

检验 215

12.2.3  两个正态总体的假设检验 217

习题12 221

第13章  线性回归分析 222

13.1  回归分析的基本概念 222

13.2  一元线性回归 223

13.2.1  一元线性回归的数学模型 223

13.2.2  的最小二乘估计与经验

公式 223

13.2.3  最小二乘估计的基本

性质 224

13.2.4  建立回归方程后进一步的统计

分析 225

13.2.5  一元非线性回归 230

习题13 232

附表 233

参考文献 244