内 容 简 介本书是高考数学复习备考的参考用书，涉及高中数学的10部分主干知识：函数，数列，三角函数，平面向量，不等式，平面解析几何，立体几何，导数，排列、组合与二项式定理，概率统计，每部分除阐述了解题技巧外，还配备了精选的习题。同时配备了高考研究和习题参考答案：“高考研究”对2014年的高考真题做了详尽的研究；“习题参考答案”给出了各章习题的答案，方便在学习时参考.本书可供广大高中学生，特别是高中毕业生参考使用，也可作为高中数学教师和教育研究工作者教学与研究高考试题思想方法的工具书.前 言
2014年高考一结束，笔者就在第一时间认真研究了全部高考真题(文理共计37套，其中江苏文理同卷)：研究它们的解法(自然解法和巧解，一题多解及多题一解)、背景、归类以及与以前高考题的比较等. 这些对高考试题的研究，对于各层次的高三学生来说，都是高考复习备考的最佳资料，所以笔者欲将这些研究心得汇集成书奉献给莘莘学子们，希望对你们的数学复习备考有所裨益.
现在市面上的教辅资料可以说是“汗牛充栋”，但笔者为什么还要在这么多的书中再添上一本呢？不是更加加重了你们的学习负担了吗？不是的！因为本书有以下独特之处：
(1)不贪多求全. 本书不是一本系统的高考数学复习备考资料，而是一本高考数学复习备考的重要参考资料，其中的“第11章 高考研究”是笔者对2014年高考真题的详细研究.
(2)突出主干知识. 本书涉及高中数学的全部主干知识(共10部分)：函数，数列，三角函数，平面向量，不等式，平面解析几何，立体几何，导数，排列、组合与二项式定理，概率统计. 每部分除阐述了解题技巧外，还配备了精选的习题，这些习题都是笔者在教学中使用过的，它们不偏不怪，紧跟高考，且创新成分多(所以建议读者把这些习题当作考试来对待，不可急于看答案).
(3)是最新研究成果. 本书的内容(包括试题)都是笔者的最新研究成果，在笔者以前的书中均没有公开过.
本书包括11章：前10章是整个高中数学的全部主干知识(共10部分)；第11章“高考研究”对2014年的高考真题作了详尽的研究，也是本书的精华.
本书适合准备高考复习备考者使用，低年级的高中生也可对本书的内容选择使用，广大数学爱好者也可研读本书的相应内容.
相信它，本书不错；认真研读它，定会收获不少！无论是对数学素养的培养，还是对数学应试.
在本书出版之际，作者还要感谢中科院张景中院士、武汉大学原校长齐明友教授、北师大王世强教授、华中师大毛经中教授、曲阜师大李吉宝教授、广东连平县忠信中学严文兰老师、浙江余姚市三中朱世杰老师对作者在初等数学研究方面的指导、勉励和无私帮助！感谢本书的责任编辑秦甲女士对本书的出版付出了不少心血！感谢养育我成长的爸爸甘武关、妈妈袁秀芬及太太张琳、儿子甘超一对我生活的体贴照料，你们辛苦多多！感谢我近年所教的张陶、陈朝鹏、王金宇、杨昆、王相谋、曹云飞等一大批学生，他们酷爱数学、各科成绩优异、评学兼优，一直支持作者的班主任及教学工作！
甘志国
于北京丰台
目 录
第1章 函数 1
1.1 谈谈“定义域优先” 1
1.2 判断两个增函数(减函数)图像的公共点个数时要慎重 2
1.3 关于互为反函数的两个函数图像公共点的结论及其应用 5
1.4 勘根定理和介值定理的有趣应用 7
1.5 轴对称、中心对称及周期性的关系 9
1.6 当 变化时，曲线 的形状均相同 10
习题 11
第2章 数列 14
2.1 求数列通项的一种简洁方法——构造常数列 14
2.2 一类数列的性质及其应用 18
2.3 用裂项法和待定系数法求Sn是通法 21
2.4 应注意由递推式确定的数列可以是有穷数列 25
2.5 2013年哈佛-麻省理工数学竞赛代数测试题第3题与2003年中国普通高考理科压轴题如出一辙 26
2.6 简解一道课本题 29
2.7 等差数列各项绝对值的前n项和 30
2.8 你熟悉公式 吗 32
2.9 改错位相减法为分组求和法 33
2.10 例谈用验证法求数列通项 34
习题 37
第3章 三角函数 43
3.1 关于辅助角公式的一个定理及其应用 43
3.2 类正弦定理猜想 49
3.3 有理数角度的三角函数值何时是有理数 52
3.4 用课本结论简解五道三角形的高考题 53
3.5 这两道高考三角形大题的解答均欠严谨 56
习题 60
第4章 平面向量 61
4.1 一类三角形的面积比问题 61
4.2 介绍物理学中的拉米定理在平面向量中的应用 62
4.3 用一个向量等式妙解两道高考题 65
习题 66
第5章 不等式 67
5.1 用数学归纳法证明均值不等式和柯西不等式 67
5.2 用“穿针引线”法解一般不等式 69
5.2.1 用“穿针引线”法解一元高次不等式 69
5.2.2 一般方程的重根的定义 69
5.2.3 用函数极值的定义简洁解题 70
5.2.4 解不等式的一种新方法——列表法 71
5.2.5 用“穿针引线”法解一元高次不等式的理由 72
5.2.6 用“穿针引线”法解一般不等式 72
5.3 谈一道期末练习题的解法及推广 73
5.4 关于 的一类不等式 74
5.5 用“线性规划问题的最优解在边界上”简解高考题 76
5.6 两类新型的“线性规划”问题 79
习题 84
第6章 平面解析几何 85
6.1 椭圆参数方程有“误区”，三角函数定义很简洁 85
6.2 用直接解一元二次方程来证圆锥曲线的焦点弦性质 88
6.3 是代入直线方程，还是代入抛物线方程 90
6.4 定椭圆的平行弦中的最长者过该椭圆的中心 94
6.5 椭圆内接平行四边形、矩形、菱形的周长及面积的取值范围 95
6.5.1 引理 95
6.5.2 椭圆内接平行四边形、矩形、菱形的周长及面积的取值范围 95
6.6 介绍椭圆的几条性质 99
6.7 圆锥曲线的一条性质及其简证 100
6.8 过定点的动直线的参数方程及其在焦半径问题中的应用 103
6.8.1 过定点的动直线的参数方程及参数的几何意义 103
6.8.2 关于圆锥曲线的焦半径的几个结论 104
6.9 研究一道直线与圆的高考题 110
6.10 一般式方程下两直线位置关系的判断条件 111
6.11 伸缩变换的性质及其应用 113
习题 116
第7章 立体几何 124
7.1 底面是矩形的四棱锥相对侧棱长的平方和相等 124
7.2 例谈构造平行六面体解立体几何题 125
7.3 例谈建立空间直角坐标系解立体几何题 130
7.4 用升维法解三道数学趣题 136
7.5 用余弦定理简证直线和平面垂直的判定定理 137
习题 138
第8章 导数 144
8.1 纠正关于e的一种流行错误 144
8.2 简解两道高考题 146
8.3 巧思妙解两道题 147
8.4 三次函数图像的对称中心的一条性质 149
8.5 用函数的隐零点解题 150
8.6 简解一类“恒成立”高考题 155
8.7 用“函数在区间上的最大(小)值点若不是区间端点就是极大(小)值点”解题 158
8.8 对2013年高考陕西卷压轴题的研究 160
8.9 例谈用求导法解一类求参数取值范围的高考题 162
8.10 按计算器按出的极限问题 164
8.11 研究2014年高考天津卷理科压轴题 166
习题 171
第9章 排列、组合与二项式定理 174
9.1 排列组合问题的基本题型及其解法 174
9.1.1 特殊元素和特殊位置优先策略 174
9.1.2 相邻元素捆绑策略 174
9.1.3 不相邻问题插空策略 175
9.1.4 定序问题消序处理，也可转化为占位插空模型来处理 175
9.1.5 多排问题直排策略 176
9.1.6 排列组合混合问题先选后排策略 176
9.1.7 相同元素问题隔板策略 176
9.1.8 平均分组问题除法策略 177
9.1.9 合理分类与分步策略 177
9.1.10 构造模型策略 178
9.1.11 配对问题 179
9.1.12 分解与合成策略 179
9.1.13 化归策略 180
9.2 由上楼梯问题得到的Fibonacci数列与组合数的联系 180
习题 182
第10章 概率统计 185
10.1 应重视用枚举法解题 185
10.2 编拟、解答概率题时均要注意基本事件是等可能事件 188
习题 193
第11章 高考研究 197
2014高考多经典 197
2014年高考的高频考点——三次函数 205
2014年高考的高频考点——错位相减法 212
数列求和的七种基本方法 218
数列通项公式的求法 225
用分离常数法解2014年高考题 232
用分离常数法求解2014年高考四川卷压轴题 242
2014年高考福建卷第22题的背景及简解 245
推广2014年高考湖北卷文科压轴题的结论 247
比较 与 的大小 249
求ln2的近似值——兼谈两道高考题的解法 251
谈谈三次曲线的切线问题 254
各种各样的曲线相切 261
你熟悉导数公式 吗 266
尴尬的循环论证——从2014年高考北京卷理科第18题谈起 268
谈谈二次曲线上的四点共圆问题 271
推广2014年高考山东卷文科压轴题的结论 275
双曲线 的性质 276
由2014年高考广东卷解析几何大题得到的关于圆锥曲线的两类经典轨迹问题 281
简介数学黑洞问题 284
商榷2014年高考题中表述欠严谨的11道题 287
对于数列问题应强调在实数范围内求解 292
谈4道高考题的题源 293
介绍26道日本高考数学题 300
2014年高考亮题新解 312
习题参考答案 364
