内容简介
本书是根据高等学校经济类专业微积分课程的教学大纲组织编写的．本书采用全新的编排方式,注重突出数学课程的循序渐进、由浅入深的特点,具有理论联系实际、课程紧密结合专业的特色．全书以“注重概念、强化应用、培养技能”为重点,充分体现了“以应用为目的,以实用为标准”的原则．
本书的主要内容有一元函数微积分学、微分方程、多元函数微积分学、无穷级数．为了更好地适应现代经济数学教学的要求,本书详细介绍了需求、供给、边际和弹性等常见的经济模型,简要介绍了基尼系数、投资和消费者剩余等重要的经济模型,在第二、七、九和十一章后配有相应的经济知识拓展,附录B和附录C分别介绍了数学建模和数学软件MATLAB的内容．本书的各章节还精心配置了例题和习题,便于学生对有关知识的掌握与应用;书末附有部分习题答案．带∗号内容供学时较多的专业选用．
本书可作为普通高等学校、成人高校及本科院校举办的二级学院和民办高校的教材．
前 言
数学是研究客观世界数量关系和空间形式的科学,是人类文化和文明的重要组成部分．能否运用数学观念定量思维是衡量民族科学文化素质的一个重要标志,数学教育在培养高素质科学技术人才中具有其独特的、不可替代的重要作用．步入２１世纪,学科间的交叉与融合越来越普遍,作为一种定量分析工具,数学方法在经济、管理的实践中被大量运用．因此,普通应用型高校经管类各专业对数学课程提出了新的更高的要求,数学教学更加注重培养学生运用数学知识解决经济问题的能力．针对新形势下应用型大学数学教育的改革思路以及教育部高等院校应用型人才的培养目标,为了培养优秀的经济管理类应用型人才,课程组(微分方程应用研究团队)在国内外专家、学者的指导下,经过多年的调研、考察和教学实践,充分借鉴国内外最新优秀教材的思想和方法,编写了适用于经管类各专业学生使用的大学数学教材«经济数学»(第３版)．通过三年的试用和六年多的使用,课程组不断改进、充实和完善教材内容,取得了很好的教学效果,较大地提高了大学数学的教学质量．该教材是“全国高等学校大学数学教学研究与发展中心”、山西省教育厅教改课题“大学生数学建模竞赛应用能力培养的研究与实践”和山西省教育科学“十三五”规划课题“基于应用能力培养的本科院校高等数学教学改革研究”的主要研究成果之一;«经济数学»教材的第１版和第２版,在２０１０年和２０１２年山西省普通高等学校教学成果奖评选中两次荣获二等奖．本书在编写过程中,以高等学校经管类专业微积分课程的教学大纲为基础,注重与经管类专业课程的衔接,同时保持了数学学科的科学性和系统性．教材在内容上突出精选够用,表达上力求通俗易懂,满足了高等教育实践性、应用性强的特点．在概念引入、理论分析等环节上注意结合经管类学生的实际,尽可能从学生熟悉的问题入手,进行深入浅出的讲解,力求使基本概念、基本定理直观化、具体化．为了更好地适应高等教育应用型人才的培养,我们结合高校教材最新的发展趋势,对«经济数学»第２版进行了全面的修改,并根据经管类学生的实际情况,对教材的许多内容进行了删、减、增(实用)、细的处理,弱化数学定理的证明,充分注重数学与经济各学科间的交叉,注重数学在经济、管理中的应用．本书将数学建模的思想贯穿到大学数学教学中,逐步培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力和自学能力,增强学生运用所学知识去分析、解决经济问题的初步能力,为后继课程和今后工作打下必要的数学基础．在编写过程中,课程组注重教材的基础性、实践性、科学性和先进性,突出“三用一新”的特点,即实用、适用、够用和创新．本书知识体系完整,结构严谨,内容精练,循序渐进,推理简明,通俗易懂．本书在例题和习题的选配上,遵循由易到难的原则,同时辅以历年研究生入学考试中的经典题型,以满足不同层次学生的需求,并提供了部分习题的参考答案或提示．与其他经济数学教材相比,本书还有如下特点．(１)本书在大学数学的体系、内容、方法上进行了改革．将数学和经济紧密结合在一起,这是以往«经济数学»教材很少做过的．为此课程组查阅了大量和经济有关的数学教材,仔细研究了宏观、微观经济学和其他经济类专业课程的教材,从中找出和微积分密切相关并且具有典型特色的经济模型和案例．(２)本书将数学建模思想、方法贯穿于整个课程体系之中．我们在很多章节给出了与教材章节内容有关的数学建模案例,又在附录中对数学建模进行了专门的介绍．通过这种方式,既可以提高读者在学习过程中的兴趣,又可以达到理论联系实际的目的,对培养读者的创新意识很有帮助．(３)本书注重培养学生应用所学的数学知识解决数学问题的能力,特别是将数学软件MATLAB结合具体教学内容进行讲授,包括基本使用方法,借助软件完成公式演算、数值计算、图形绘制的练习等,其目的是突出对学生建模能力的培养,提高学生的分析能力和运用数学知识解决实际问题的能力．(４)本书将数学文化修养提到了一个新的高度．把数学看成是一种崭新的文化,是人类如何对待世界的一种新态度和一种新思维．有鉴于此,本书在各章结尾附有与其内容相关的数学文化知识,包括数学史、数学家简介、数学逸事等内容,使学生真正体会到数学之美,充分展现数学课程的人文教育功能．本书由山西大学商务学院的张杰明教授提出编写思想、提纲、列出章节目录,负责全书的策划、统稿、定稿,并且编写了第一章、第十章和附录C;景冰清副教授编写了第二章;太原工业学院的张晋珠教授编写了第三章和附录B;杨晨副教授编写了第四章;太原学院的尚肖飞副教授编写了第五章和第七章;赵转萍老师编写了第六章和附录A;张艳桃老师编写了第八章;李文姿老师编写了第九章;太原学院的赵登科副教授编写了第十一章．在编写过程中,山西大学的郭耀鹏教授、山西财经大学的王译教授和太原理工大学的张洪斌教授都仔细审阅了本书,并提出许多宝贵的指导意见,使本书增色不少．本书还得到山西大学商务学院的徐仲安教授、杨继平教授、石生教授的大力支持．由于编者的水平有限,书中的缺点和错误在所难免,欢迎广大专家、同行和读者批评指正．编 者
目 录
第一章 函数 ..........................１第一节 集合 ......................１一、集合的概念 ................１二、集合的运算 ................２三、绝对值 ....................３四、区间和邻域 ................４习题１-１ ......................５第二节 函数的概念、性质和例题 ....６一、函数的概念 ................６二、函数的性质 ................９三、建立函数关系的例题 ........１２习题１-２ ......................１３第三节 反函数、复合函数和初等函数 ..................１４一、反函数 ....................１４二、基本初等函数 ..............１５三、复合函数 ..................２０四、初等函数 ..................２１习题１-３ ......................２１第四节 经济学中的几种常用函数 ....２２一、需求函数与供给函数 ........２２二、成本函数、收益函数与利润函数 ......................２４三、其他经济函数 ..............２６习题１-４ ......................２７阅读资料 ..........................２８本章小结 ..........................２９第二章 极限与连续 ..................３１第一节 极限 ......................３１一、数列极限 ..................３１二、函数极限 ..................３５习题２-１ ......................４０第二节 极限的运算 ................４１习题２-２ ......................４５第三节 极限存在准则和两个重要极限 ..................４５一、极限存在准则 ..............４５二、两个重要极限 ..............４６习题２-３ ......................５１第四节 无穷小量与无穷大量 ........５２一、无穷小量 ..................５２二、无穷大量 ..................５３三、无穷小量的比较 ............５５习题２-４ ......................５８第五节 连续 ......................５９一、函数连续的概念 ............５９二、函数的间断点 ..............６１三、连续函数的性质与初等函数的连续性 ..................６３四、闭区间上连续函数的性质 ....６５习题２-５ ......................６８知识拓展 复利、贴现模型 (极限 ) ....６９阅读资料 ..........................７３本章小结 ..........................７４第三章 导数与微分 ..................７６第一节 导数概念 ..............７６一、导数定义 ..................７６二、几个基本初等函数的导数公式 ......................８０三、可导与连续的关系 ..........８３习题３-１ ......................８４第二节 导数的运算法则 ............８５一、函数的和、差、积、商的求导法则 ..................８５二、反函数求导法则 ............８８三、复合函数求导法则 ..........９０四、初等函数的求导问题 ........９２习题３-２ ..................９３第三节 高阶导数、隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 ..........９５一、高阶导数 ..................９５二、隐函数的导数 ..............９８三、由参数方程所确定的函数的导数 ............１００习题３-３ ................１０２第四节 微分 ....................１０３一、微分的定义及几何意义 ....１０３二、微分的运算法则 ..........１０５三、微分在近似计算中的应用 ..１０８习题３-４ ....................１１１阅读资料 ........................１１２本章小结 ........................１１４第四章 导数的应用 ..................１１５第一节 微分中值定理 ............１１５一、罗尔定理 ................１１５二、拉格朗日中值定理 ........１１６三、柯西中值定理 ..........１１９习题４-１ ....................１１９第二节 洛必达法则 ..............１１９习题４-２ ....................１２４第三节 函数的单调性与极值 ......１２４一、函数单调性的判别法 ......１２４二、函数极值的判别法 ........１２７三、最大值和最小值的求法 ....１３１习题４-３ ....................１３４第四节 函数图形的描绘 ..........１３５一、曲线的凹凸性与拐点 ......１３５二、函数图形的描绘 ..........１３８习题４-４ ....................１４３第五节 导数在经济分析中的应用 ..１４４一、边际与边际分析 ..........１４４二、弹性与弹性分析 ..........１４７习题４-５ ....................１５２阅读资料 ........................１５６本章小结 ........................１５７第五章 不定积分 ....................１５９第一节 不定积分概述 ............１５９一、原函数与不定积分的概念 ..１５９二、不定积分的几何意义 ......１６０三、基本积分表 ..............１６１四、不定积分的性质 ..........１６２习题５-１ ....................１６４第二节 换元积分法 ..............１６５一、第一类换元积分法 (凑微分法 ) ..............１６５二、第二类换元积分法 ........１７０习题５-２ ....................１７４第三节 分部积分法 ..............１７６习题５-３ ....................１７８.第四节 有理函数的积分 ..........１７８一、有理真分式化为部分分式之和 ....................１７９二、有理真分式的积分 ........１８０习题５-４ ....................１８１第五节 积分表的使用方法 ........１８１习题５-５ ....................１８２阅读资料 ........................１８３本章小结 ........................１８４第六章 定积分 ......................１８６第一节 定积分的概念和性质 ......１８６一、定积分的概念 ............１８６二、定积分的性质 ............１９１习题６-１ ....................１９４第二节 微积分基本定理 ..........１９５一、变上限函数及其导数 ......１９５二、牛顿－莱布尼茨公式 ......１９６习题６-２ ....................１９９第三节 定积分的换元积分法和分部积分法 ..............２００一、定积分的换元积分法 ......２００二、定积分的分部积分法 ......２０４习题６-３ ....................２０６第四节 广义积分 ................２０７一、无穷区间上的广义积分 ....２０７二、无界函数的广义积分 ......２１０习题６-４ ....................２１２第五节 定积分的近似计算 ........２１２一、矩形法 ..................２１２二、梯形法 ..................２１３三、抛物线法 ................２１４习题６-５ ....................２１６阅读资料 ........................２１６本章小结 ........................２１７第七章 定积分的应用 ................２１９第一节 定积分的元素法 ..........２１９第二节 定积分在几何上的应用 ....２２１一、平面图形的面积 ..........２２１二、旋转体的体积 ............２２６习题７-２ ....................２２８第三节 定积分在经济上的应用 ....２３０一、已知边际函数求总量的问题 ..................２３０二、投资问题 ................２３１三、国民收入分配问题 ........２３３四、消费者剩余和生产者剩余问题 ....................２３４习题７-３ ....................２３５知识拓展 红绿灯管理模型 (积分 ) ..２３６阅读资料 ........................２３８本章小结 ........................２４０第八章 微分方程 ....................２４１第一节 微分方程的概念 ..........２４１一、引例 ....................２４１二、微分方程的基本概念 ......２４２习题８-１ ....................２４５第二节 一阶微分方程 ............２４５一、可分离变量的微分方程 ....２４６二、齐次方程 ................２４７三、一阶线性微分方程 ........２５０四、微分方程在几何中的应用 ..２５３习题８-２ ....................２５５第三节 可降阶的高阶微分方程 ....２５６一、y(n)＝f (x)型的微分方程 ....................２５６二、y″＝f (x,y′)型的微分方程 ....................２５７三、y″＝f ( y,y′)型的微分方程 ....................２５８习题８-３ ....................２５９第四节 二阶常系数线性微分方程 ..２６０一、二阶常系数齐次线性微分方程 ....................２６０二、二阶常系数非齐次线性微分方程 ....................２６４习题８-４ ....................２７０第五节 差分方程 ................２７０一、差分的概念与性质 ........２７０二、差分方程的概念 ..........２７２三、一阶常系数线性差分方程 ..２７３习题８-５ ....................２７７第六节 微分方程在经济中的应用 ..２７８阅读资料 ........................２８１本章小结 ........................２８３第九章 多元函数微分学 ..............２８６第一节 空间解析几何简介 ........２８６一、空间直角坐标系 ..........２８６二、曲面与方程 ..............２８８习题９-１ ....................２９２第二节 多元函数的概念、极限与连续 ....................２９２一、多元函数的概念 ..........２９２二、常见的多元经济函数 ....２９５三、多元函数的极限与连续 ....２９７习题９-２ ....................３００第三节 偏导数与全微分 ..........３０１一、偏导数的概念 ............３０１二、高阶偏导数 ..............３０３三、偏导数的经济意义 ........３０５四、全微分的概念 ............３０７.五、近似计算 ..............３１１习题９-３ ....................３１１第四节 多元复合函数与隐函数的微分法 ..................３１２一、复合函数的微分法 ........３１３二、隐函数的微分法 ..........３１６习题９-４ ....................３１８第五节 多元函数的极值 ..........３１８一、二元函数的极值 ..........３１８二、最大值与最小值 ..........３２０三、条件极值 ..............３２１四、最小二乘法 ............３２３习题９-５ ....................３２５知识拓展 期权定价模型 (偏微分 ) ..３２５阅读资料 ........................３２９本章小结 ........................３３１第十章 多元函数积分学 ..............３３３第一节 二重积分 ................３３３一、二重积分的概念 ..........３３３二、二重积分的性质 ..........３３６习题１０-１ ....................３３７第二节 二重积分的计算 ..........３３８一、利用直角坐标系计算二重积分 ....................３３８二、交换累次积分次序计算二重积分 ....................３４５三、利用极坐标计算二重积分 ..................３４６习题１０-２ ....................３５０第三节 二重积分的应用 ..........３５１习题１０-３ ....................３５３阅读资料 ........................３５３本章小结 ........................３５５第十一章 无穷级数 ..................３５６第一节 数项级数 ................３５６一、数项级数的基本概念 ......３５７二、数项级数的性质 ..........３５９习题１１-１ ....................３６２第二节 数项级数收敛判别法 ......３６２一、正项级数及其比较判别法 ..３６３二、交错级数 ................３６８三、任意项级数 ..............３６９习题１１-２ ....................３７１第三节 幂级数及其性质 ..........３７２一、幂级数及其收敛性 ........３７３二、幂级数的运算性质 ........３７６习题１１-３ ....................３７８第四节 函数展开成幂级数 ........３７９一、泰勒级数 ................３７９二、函数展开成幂级数 ........３８０三、幂级数在近似计算中的应用 ..................３８４习题１１-４ ....................３８５第五节 级数在经济中的应用举例 ..３８６知识拓展 人口预测模型 ..........３８９阅读资料 ........................３９２本章小结 ........................３９３附录A 积分表 ......................３９５附录B 数学建模简介 ................４０５附录C 数学软件MATLAB简介 ....４２９部分习题参考答案 ....................４４３参考文献 ........................４６６
